Questão 160 do ENEM 2023 de Matemática

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

algarismos de 0 a 9;

26 letras minúsculas do alfabeto;

26 letras maiúsculas do alfabeto;

6 caracteres especiais !, @, #, $, %, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;

tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;

tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere $p_{1}, p_{2}$ e $p_{3}$ as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.